Бернхард Риман
Георг Фридрих Бернхард Риман - немецкий математик XIX века, чьи работы в области геометрии, анализа и теории чисел заложили фундамент для общей теории относительности Эйнштейна и открыли новые горизонты перед всей мировой математикой. За неполные десять лет активной научной деятельности он преобразовал сразу несколько разделов математики и сформулировал одну из величайших нерешённых задач в истории науки.
Детство и семья
Бернхард Риман появился на свет 17 сентября 1826 года в деревне Брезеленц в королевстве Ганновер. Он был вторым из шести детей в семье лютеранского пастора Фридриха Бернхарда Римана, участника Наполеоновских войн. Семья жила скромно, и уже с ранних лет Бернхард чувствовал ответственность перед близкими. Мать, Шарлотта Эбелль, скончалась от туберкулёза, когда сыну было около двадцати лет; та же болезнь унесёт впоследствии двух его сестёр и самого Бернхарда.
До четырнадцати лет мальчика обучал отец. Математические способности проявились рано и были исключительными: преподаватели отмечали, что ребёнок обгоняет их в сложных вычислениях. По характеру Риман был застенчив до болезненности, плохо чувствовал себя на публике и всю жизнь страдал от робости, которая давалась ему дороже, чем любые научные трудности. При этом он был глубоко набожен и привязан к семье: отцу он позволял направлять свой выбор даже в зрелом возрасте.
Образование: от богословия к математике
В 1840 году Риман поступил в Лицей Ганновера и поселился у бабушки. После её смерти в 1842 году перебрался в гимназию «Иоаннеум» в Люнебурге. Там директор гимназии, заметив необычный дар ученика, давал ему читать книги из собственной библиотеки. Одну из них, труд Адриена Лежандра «Теория чисел» объёмом около 900 страниц, Риман прочитал за шесть дней и вернул с замечанием: «Вот это книга. Я её выучил».
В 1846 году, уступая желанию отца, он поступил в Гёттингенский университет на богословский факультет. Однако лекции Карла Фридриха Гаусса, которого в то время считали первым математиком мира, изменили всё. Гаусс читал курс по методу наименьших квадратов, и молодой Риман понял: его призвание - математика, а не богословие. Отец отнёсся к смене пути с пониманием.
В 1847 году Риман перевёлся в Берлинский университет, где работали лучшие немецкие математики того времени: Петер Густав Дирихле, Карл Густав Якоби, Якоб Штейнер и Готтхольд Эйзенштейн. Влияние Дирихле оказалось особенно сильным: именно у него Риман перенял строгий аналитический стиль мышления и любовь к числовым функциям. В 1849 году он вернулся в Гёттинген, где познакомился с физиком Вильгельмом Вебером и математиком Рихардом Дедекиндом, ставшими его ближайшими друзьями и коллегами.
Диссертация и первые открытия
В декабре 1851 года Риман защитил докторскую диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной» перед самим Гауссом. Научный руководитель, скупой на похвалы, написал в отзыве о «блестящей плодотворной оригинальности» молодого учёного. В этой работе Риман ввёл понятие, которое изменило всю комплексную теорию функций: риманову поверхность, геометрический объект, позволяющий работать с многозначными функциями как с однозначными. Вместо того чтобы бороться с ветвящимися значениями логарифма или квадратного корня, он предложил «развернуть» функцию на специальной многолистной поверхности, где она становится единой и непрерывной.
В 1853 году, готовясь к хабилитации (праву чтения лекций), Риман написал сразу две работы. Первая касалась тригонометрических рядов: он поставил обратную задачу к теореме Фурье и разработал точные условия интегрируемости функций, сформулировав то, что сегодня во всём мире называется интегралом Римана. Вторая работа стала частью его хабилитационного доклада по геометрии.
Переворот в геометрии
10 июня 1854 года Риман прочитал перед факультетом доклад «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». По традиции кандидат предлагал три темы на выбор комиссии; Гаусс, к удивлению коллег, выбрал третью, самую рискованную. Это решение обеспечило науке один из важнейших текстов XIX века.
В докладе Риман предложил абсолютно новый взгляд на пространство. До него математики работали в рамках евклидовой геометрии или, в лучшем случае, изучали поверхности в трёхмерном пространстве. Риман обобщил идеи Гаусса о кривизне поверхностей на пространства произвольного числа измерений. Он ввёл понятие «многообразия» (Mannigfaltigkeit), снабжённого метрическим тензором: функцией, задающей расстояние в каждой точке пространства. В такой геометрии параллельные прямые могут пересекаться или расходиться, сумма углов треугольника не равна 180 градусам, а само пространство может быть искривлено. Гаусс, по свидетельству очевидцев, после доклада шёл домой в глубоком раздумье - он один из присутствующих понял всю глубину сказанного.
Доклад был опубликован лишь в 1868 году, уже после смерти автора, Рихардом Дедекиндом. Но именно риманова геометрия, построенная в этом тексте, стала математическим языком, на котором полвека спустя Альберт Эйнштейн записал общую теорию относительности. Эйнштейн впоследствии прямо писал: «Риман первый распространил рассуждения Гаусса на континуумы произвольного числа измерений и пророчески предвидел физическое значение этого обобщения».
Профессура и гипотеза о простых числах
В 1857 году Риман опубликовал фундаментальный труд «Теория абелевых функций» в журнале Крелле. Работа решала задачи, которые до него не поддавались решению даже в частных случаях: Риман применил топологические методы к классическим аналитическим проблемам, ввёл понятие рода поверхности и установил связь между топологией, числом листов и точками ветвления. Карл Вейерштрасс, работавший над смежными задачами, отозвал свою конкурирующую статью из печати. В том же году Риман стал экстраординарным профессором в Гёттингене.
30 июля 1859 года, после смерти Дирихле, Риман занял кафедру математики в Гёттингенском университете, одну из самых престижных в Германии. В том же году он был избран членом Берлинской академии наук (по представлению Куммера, Борхардта и Вейерштрасса) и представил академии небольшую, всего на нескольких страницах, работу «О числе простых чисел, не превышающих данной величины».
Этот скромный по объёму текст перевернул теорию чисел. Риман рассмотрел функцию ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ..., известную ранее лишь для вещественных значений s, и продолжил её на всю комплексную плоскость. Он показал, что нули этой функции напрямую управляют распределением простых чисел: каждый нетривиальный ноль дзета-функции оставляет «след» в формуле для подсчёта простых чисел. Затем Риман высказал предположение, которое с тех пор не даёт покоя математикам: все нетривиальные нули дзета-функции лежат на одной вертикальной прямой Re(s) = 1/2 на комплексной плоскости. Это утверждение, известное как гипотеза Римана, в 2000 году было включено в список семи «задач тысячелетия» Математического института Клэя с призовым фондом один миллион долларов за каждое решение. По состоянию на сегодняшний день оно остаётся недоказанным.
Личная жизнь
Личная жизнь Римана долгое время оставалась несостоявшейся: бедность и болезни мешали устроиться. Только в июне 1862 года, получив наконец стабильное профессорское жалованье, он женился на Элизе Кох (в некоторых источниках Эльзе Кох), близкой подруге своей старшей сестры. Их знакомство было долгим, и брак, несмотря на краткость, был счастливым. В семье родилась дочь Ида.
Уже осенью 1862 года Риман простудился, и простуда перешла в туберкулёз. Болезнь развивалась стремительно: семья поняла, что петербургский климат для больного губителен. В декабре 1862 года супруги уехали в Италию, надеясь на выздоровление в средиземноморском климате. Риман поначалу чувствовал улучшение, встречался с итальянскими математиками Бетти, Казоратти и Брьоски, продолжал работу.
Последние годы и смерть
Риман провёл в Италии в общей сложности около трёх лет, несколько раз возвращаясь в Гёттинген. Каждый приезд на север давался тяжело: немецкий климат усугублял болезнь. Зиму 1865 года он пережил в Северной Италии, а весной 1866 года снова отправился на юг. 16 июня 1866 года он прибыл в деревушку Селаска на западном берегу озера Лаго-Маджоре в Пьемонте.
Рихард Дедекинд впоследствии описал последние дни друга: Риман работал над рукописью вплоть до последнего дня, отдыхая под смоковницей. 20 июля 1866 года Бернхард Риман скончался. Ему было неполных 40 лет. По печальному преданию, служанка, не зная ценности бумаг, уничтожила часть незавершённых рукописей. Дедекинд собрал уцелевшие труды и издал их в виде одного тома.
Риман умер в Италии, вдали от родины, а его могила на местном кладбище впоследствии была утрачена при перепланировке: сохранилась лишь надгробная плита. Но память о нём оказалась куда долговечнее: в 1964 году кратер на Луне получил имя Риман, а в 1994 году малая планета (4167) была названа Riemann в честь учёного.
Наследие и влияние
Влияние Римана на математику и физику трудно переоценить. Его именем названы: риманова геометрия, гипотеза Римана, дзета-функция Римана, интеграл Римана, риманова поверхность, тензор кривизны Римана, условия Коши-Римана, риманова метрика, инварианты Римана в газодинамике. Такая концентрация имён в разных областях науки у одного человека не имеет аналогов среди математиков XIX века.
Академик Павел Александров писал о нём: «Мы склонны видеть в Римане, может быть, величайшего математика середины XIX века, непосредственного преемника Гаусса». Риманова геометрия стала тем языком, без которого общая теория относительности просто не могла бы быть записана: кривизна пространства-времени, геодезические линии, метрический тензор - всё это пришло из восьмистраничного гёттингенского доклада 1854 года. Гипотеза Римана по сей день остаётся главной нерешённой проблемой математики, а интеграл Римана преподаётся в каждом университете мира как базовый инструмент анализа.
Интересные факты
Будущий создатель геометрии пространства однажды прочитал 900-страничный трактат Лежандра по теории чисел за шесть дней и счёл его превосходным. Сам Риман за всю жизнь опубликовал сравнительно мало работ: его собрание сочинений умещается в один том. При этом каждая из опубликованных статей открывала новое направление.
Гипотеза Римана была сформулирована как побочное замечание в статье о простых числах: Риман написал буквально, что «было бы желательно» строгое доказательство того, что все нетривиальные нули лежат на критической прямой, но добавил, что доказать это ему пока не удалось. За прошедшие 160 лет проверены миллиарды нулей дзета-функции: все они лежат ровно там, где предсказал Риман. Ни одного исключения не найдено. Но доказательства по-прежнему нет.
Риман страдал от публичных выступлений почти патологически: перед первой лекцией в Гёттингене он несколько дней провёл в сильном нервном напряжении. Тем не менее именно его хабилитационный доклад 1854 года, прочитанный перед малочисленной комиссией, считается одним из величайших публичных научных выступлений в истории математики.