Карл Фридрих Гаусс
Карл Фридрих Гаусс -- немецкий математик и учёный, которого современники и потомки называли «королём математиков»: его открытия охватили теорию чисел, алгебру, статистику, астрономию, геодезию и физику, а общее число понятий и теорем, носящих его имя, превышает сотню.
Происхождение и детство
Гаусс родился 30 апреля 1777 года в Брауншвейге, в семье, далёкой от учёности. Отец Гебхард Дитрих Гаусс (1744-1808) был каменщиком, садовником и мясником -- человеком работящим, но суровым и не склонным к образованию. Мать Доротея, урождённая Бентце, была практически неграмотна. Тем разительнее выглядели способности единственного ребёнка. По преданию, трёхлетний Карл указал отцу на ошибку в арифметических подсчётах ещё прежде, чем научился складно говорить, а к четырём годам читал и писал самостоятельно.
Один из самых известных анекдотов связан с уроком арифметики в начальной школе: учитель, желая занять класс на несколько часов, предложил сложить все числа от 1 до 100. Юный Гаусс написал ответ 5050 почти мгновенно -- он догадался, что 100 пар вида «1 + 100», «2 + 99» и так далее дают по 101, то есть итог равен 50 умножить на 101. Учитель Мартин Бартельс, восхищённый мальчиком, стал заниматься с ним дополнительно и добился аудиенции у герцога Карла Вильгельма Фердинанда Брауншвейгского. Герцог взял тринадцатилетнего Карла под покровительство и назначил стипендию.
Образование и первые открытия
В 1792 году Гаусс поступил в Collegium Carolinum в Брауншвейге, где три года изучал классические языки, математику и труды Ньютона, Эйлера и Лагранжа. В 1795 году он перешёл в Гёттингенский университет -- один из ведущих научных центров Европы. Здесь Гаусс посещал лекции по математике у Авраама Готхельфа Кестнера, однако большинство идей рождалось в самостоятельной работе.
Уже 30 марта 1796 года, в возрасте 18 лет, Гаусс сделал первое крупное открытие: доказал, что правильный 17-угольник можно построить циркулем и линейкой. Это был первый значимый результат в геометрии правильных многоугольников за две тысячи лет -- со времён Евклида. Потрясённый Гаусс начал вести «Математический дневник», в который заносил открытия. К 1798 году дневник насчитывал более 140 записей. Большую часть этих результатов он так и не опубликовал при жизни.
Докторская диссертация была защищена в 1799 году в Хельмштедтском университете под руководством Иоганна Фридриха Пфаффа. В ней Гаусс впервые строго доказал основную теорему алгебры: каждый многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней. Впоследствии он дал ещё три независимых доказательства той же теоремы -- последнее в 1849 году, ровно через 50 лет после первого.
«Арифметические исследования» и теория чисел
В 1801 году вышла книга «Disquisitiones Arithmeticae» («Арифметические исследования»). Написанная по-латыни, она систематизировала и развила всю теорию чисел, известную на тот момент. Гаусс ввёл понятие сравнений по модулю и символ «≡», доказал закон квадратичной взаимности (который до него безуспешно пытался доказать Лежандр), исследовал квадратичные формы и разработал теорию круговых полей. Книгу немедленно назвали монументальным трудом, хотя и трудным для понимания даже для профессиональных математиков того времени.
Теория чисел оставалась для Гаусса главной любовью всю жизнь. Именно здесь он сформулировал знаменитое «суждение Гаусса»: «Математика есть царица наук, а теория чисел есть царица математики». Помимо «Арифметических исследований», он оставил обширный корпус неопубликованных рукописей по числовым функциям и распределению простых чисел -- результаты, часть из которых переоткрывалась другими математиками спустя десятилетия.
Открытие орбиты Цереры
1 января 1801 года итальянский астроном Джузеппе Пьяцци в Палермо обнаружил небесное тело, которое назвал Церерой. Наблюдать его удалось всего несколько недель: объект скрылся за Солнцем, и учёные не могли определить, где искать его вновь. Традиционные методы вычисления орбит по немногочисленным наблюдениям давали слишком большую погрешность.
Двадцатичетырёхлетний Гаусс разработал принципиально новый алгоритм -- метод наименьших квадратов и итерационную процедуру уточнения орбиты. Уже в декабре 1801 года он опубликовал координаты, где следует искать Цереру. Астрономы Франц Ксавер фон Цах и Генрих Вильгельм Матеус Ольберс нашли тело точно в указанном месте 7 января 1802 года. Этот триумф сделал Гаусса знаменитым по всей Европе. Детали метода он изложил в книге «Theoria Motus Corporum Coelestium» (1809), ставшей стандартным руководством по небесной механике на несколько десятилетий. Примечательно, что метод наименьших квадратов Лежандр опубликовал в 1805 году, однако Гаусс утверждал, что пользовался им с 1794 года, задолго до французского математика.
Нормальное распределение, геодезия и магнетизм
В том же трактате 1809 года Гаусс развил математическую теорию ошибок измерений. Он показал, что при многократных наблюдениях случайные отклонения подчиняются «кривой ошибок» -- симметричному колоколообразному распределению, ныне повсеместно известному как нормальное, или распределение Гаусса. Эта работа стала краеугольным камнем математической статистики и теории вероятностей, применяемых сегодня в физике, экономике, медицине и десятках других областей.
В 1820 году правительство Ганновера поручило Гауссу провести точную геодезическую съёмку королевства. Работа заняла более двадцати лет. Для неё он изобрёл гелиотроп (1821) -- прибор, отражающий солнечный луч на большие расстояния, что позволило вести триангуляцию с невиданной ранее точностью. Попутно Гаусс разработал полную теорию поверхностей: ввёл понятие гауссовой кривизны и доказал теорему «Theorema Egregium» (1827) -- что кривизна поверхности не меняется при её изгибании без растяжения. Именно эти идеи полвека спустя вдохновили Бернхарда Римана на создание римановой геометрии, ставшей математической основой общей теории относительности Эйнштейна.
С 1831 года Гаусс тесно сотрудничал с молодым физиком Вильгельмом Вебером. Вместе они провели первые абсолютные измерения магнитного поля Земли (1832), создали систему единиц для магнетизма и в 1833 году построили действующую модель электрического телеграфа: линия протяжённостью около километра соединяла обсерваторию с физическим кабинетом университета. Единица магнитной индукции в системе СГС была названа «гауссом» в его честь. Законы Гаусса для электрических и магнитных потоков впоследствии вошли в систему уравнений Максвелла.
Неевклидова геометрия и другие скрытые открытия
Одна из самых поразительных страниц биографии Гаусса -- это то, что он не публиковал. В личных письмах и тетрадях можно найти результаты, которые сделали бы его ещё более знаменитым, опубликуй он их вовремя. Ещё около 1817 года Гаусс понял, что геометрия, в которой постулат Евклида о параллельных прямых не выполняется, является внутренне непротиворечивой. Он назвал её «неевклидовой» и даже изобрёл этот термин, однако не решился публиковать: опасался насмешек коллег, слепо веривших в незыблемость евклидовых аксиом.
Когда его старый друг Фаркаш Бойяи в 1832 году прислал ему работу сына Яноша о неевклидовой геометрии, Гаусс ответил честно, но жестоко: «Я не могу похвалить её, так как это всё равно, что хвалить самого себя. Весь план, метод и результаты почти совпадают с моими собственными размышлениями, которые существуют у меня частично уже 30-35 лет». Янош был потрясён и практически прекратил публикации. Аналогичная история повторилась с эллиптическими функциями: к тому времени, когда Нильс Хенрик Абель и Карл Якоби опубликовали свои работы в 1827 году, Гаусс уже обладал этими результатами -- но молчал.
Личная жизнь
В 1805 году Гаусс женился на Иоганне Остгоф, дочери дубильщика из Брауншвейга. Брак был счастливым; у супругов родилось трое детей: Йозеф (1806), Вильгельмина (1808) и Людвиг (1809). Но в октябре 1809 года Иоганна скончалась вскоре после третьих родов, а малыш Людвиг умер несколькими месяцами позже. Гаусс пережил это как личную катастрофу. В письме другу он писал, что «жизнь потеряла прежний смысл».
Уже в 1810 году он вступил во второй брак -- с Минной Вальдек, подругой первой жены. От этого брака родилось трое детей: Евгений (1811), Вильгельм (1813) и Тереза (1816). Минна страдала от туберкулёза и умерла в 1831 году. После этого Гаусс жил замкнуто; из всех детей рядом с ним осталась лишь дочь Тереза, которая вела его хозяйство до конца жизни. Двое сыновей, Евгений и Вильгельм, уехали в Северную Америку: по одной из версий, они не могли смириться с авторитарным характером отца, который настороженно относился к их выбору жизненного пути. Гаусс поддерживал их финансово, хотя переписка оставалась редкой.
Финансовые дела Гаусса складывались значительно лучше, чем у большинства учёных его времени: он грамотно инвестировал сбережения в ценные бумаги. К моменту смерти его состояние оценивалось примерно в 150 000 талеров -- внушительная сумма для академического профессора.
Последние годы и смерть
В 1807 году Гаусс был назначен профессором Гёттингенского университета и директором местной обсерватории. Этот пост он занимал непрерывно до самой смерти -- почти 48 лет. В последнее десятилетие жизни он практически не публиковал новых крупных работ, однако продолжал обширную переписку и рецензировал чужие труды. В 62 года выучил русский язык, чтобы читать работы Николая Лобачевского в оригинале; по рекомендации Гаусса в 1842 году Лобачевский был избран членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества.
Умер Гаусс 23 февраля 1855 года в Гёттингене от сердечного приступа, в возрасте 77 лет. Он был похоронен на кладбище Альбани. По приказу короля Ганновера Георга V в его честь была отчеканена медаль с надписью на латыни «Mathematicorum Princeps» -- «Принц математиков», что нередко переводят как «король математиков». Мозг Гаусса был извлечён для изучения; долгое время считалось, что он отличается необычно сложными извилинами, однако в 2013 году выяснилось, что анатомы перепутали образцы с другим мозгом.
Наследие
Трудно назвать область точных наук, которой Гаусс не коснулся. В математике его имя носят: распределение Гаусса, гауссово целое число, гауссова кривизна, гауссов пучок, гауссово исключение, лемма Гаусса. В физике: гаусс (единица магнитной индукции СГС), теорема Гаусса в электростатике, гауссова единица заряда. В геодезии: метод наименьших квадратов. В астрономии: метод Гаусса для вычисления орбит. По числу понятий, носящих имя одного человека, Гаусс стоит в одном ряду с Эйлером и Ньютоном.
Среди его учеников и последователей -- Бернхард Риман, Рихард Дедекинд, Август Мёбиус и Фридрих Вильгельм Бессель. Идеи Гаусса о кривизне пространства опередили время на полвека: только после создания общей теории относительности стало ясно, насколько глубоко он понимал геометрическую природу физического мира. Девиз на личной печати «Pauca sed matura» -- «Немного, но зрело» -- точно отражает его философию: лучше не публиковать вовсе, чем публиковать сырое. Эта строгость к себе, возможно, лишила его ещё нескольких первенств, но сделала каждую изданную работу образцом точности и глубины.